Burschel studierte Geschichte, Philosophie und Latein. Nach dem Masterabschluss und der Promotion in Göttingen habilitierte er sich 2002 in Neuerer und Neuester Geschichte und in Historischer Anthropologie an der Universität Freiburg im Breisgau, wo er 2006 zum Professor ernannt wurde. 2007 folgte Burschel einem Ruf auf den Lehrstuhl für Neuere Geschichte an der Universität Rostock, 2011 auf den für Europäische Geschichte der Frühen Neuzeit an der Humboldt-Universität zu Berlin. Von 2007 bis 2019 war Burschel Vorsitzender des Instituts für Historische Anthropologie in Freiburg im Breisgau, von 2017 bis 2019 Vorsitzender der Arbeitsgemeinschaft Frühe Neuzeit im Verband der Historiker und Historikerinnen Deutschlands. Burschel ist Mitglied zahlreicher in- und ausländischer Forschungseinrichtungen, Kommissionen, Kollegs und Akademien. Er ist Schriftführer des Jahrbuchs für Universalgeschichte „Saeculum“ und Mitherausgeber der Zeitschriften „Historische Anthropologie“ und „Geschichte in Wissenschaft und Unterricht“ und der „Zeitschrift für Ideengeschichte“ sowie mehrerer Reihen. Seit 2015 ist er Mitglied des DFG-Fachkollegiums „Geschichtswissenschaften“, seit 2019 Vorsitzender der Kommission „Deutsche Inschriften des Mittelalters und der Frühen Neuzeit“ der Göttinger Akademie der Wissenschaften und seit 2021 Vorsitzender der Klasse für Geisteswissenschaften der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft. Seine Forschungsinteressen gelten der Historischen Anthropologie, der interkulturellen Begegnung und der kulturellen Übersetzung. Burschel hat u. a. zur Sozialgeschichte des Militärs und zur Kulturgeschichte des Martyriums publiziert; er hat sich mit der Geschichte der Reinheit, des Rassismus und der Hautfarben beschäftigt - und ist an der Geschichte der Utopie ebenso interessiert wie an der Geschichte des Meeres. Seine Geschichte der Herzog August Bibliothek „in Büchern“ ist pünktlich zum Jubiläumsjahr 2022 erschienen.